RESUME
OPERASI HITUNG PADA SISTEM BILANGAN
Operasi
hitung pada sistem bilangan ada 4 macam yaitu operasi tambah, operasi kurang,
operasi kali dan operasi bagi.Yang menjadi dasar adalah operasi tambah. Selanjutnya
dari keempat operasi itu dikembangkan
pula menjadi operasi perpangkatan yaitu perkalian berulang, operasi penarikan
akar yaitu invers dari perpangkatan dan logaritma juga adalah invers dari
perpangkatan.
Diagramnya
sebagai berikut :
Operasi tambah
|
Operasi kurang
|
Operasi kali
|
Operasi bagi
|
Operasi pangkat
|
Operasi akar
|
Operasi
logaritma
|
berulang
|
berulang
|
invers
|
invers
|
invers
|
invers
|
A.
Operasi
Uner ( Tunggal )
Operasi Uner
atau operasi Monar adalah operasi yang berkenaan dengan sebuah bilangan
(unsur). Contohnya: operasi penarikan akar, logaritma, perbandingan
trigonometri.
Misalnya
:
B.
Operasi
Biner
Operasi biner
adalah operasi yang berkenaan dua buah bilangan (unsur). Bila kita
mengoperasikan lebih dari dua unsur pada dasarnya tetap kita melakukan operasi
biner.
Misalnya
: 3 + 2 + 4, kita tetap mengerjakan sepasang-sepasang, yaitu
( 3 + 2 ) + 4 = 5 + 4 = 9 atau 3 + ( 2 + 4 ) = 3 + 6 = 9
C. Sifat-sifat operasi hitung
1. Sifat
Tertutup ( Closure )
Dalam
penjumlahan sepasang bilangan asli A, hasil penjumlahannya selalu merupakan
bilangan asli A. misalnya 3 + 5 = 8,3
dikatakan bahwa operasi tambah tertutup dalam
himpunan bilangan asli. Tetapi operasi pengurangan dalam bilangan asli, belum
tentu hasilnya bilangan asli pula.
Misalnya 3-5 = -2, hal ini kita sebut bahwa
operasi pengurangan tidak tertutup pada himpunan bilangan asli. Untuk operasi
kali tertutup dalam himpunan bilangan asli sedangkan operasi bagi tidak
tertutup.. dalam himpunan bilangan real keempat operasi hitung tertutup,
kecuali untuk nol dalam operasi bagi
2. Sifat
Pertukaran ( Komutatif/Komutasi )
Dalam
himpunan bilangan real diketahui bahwa a + b = b + a. dikatakan bahwa sifat
pertukaran operasi penjumlahan berlaku juga perkalian yaitu a x b = b x a, dikatakan ada himpunan bilangan real operasi kali
dipenuhi.
3. Sifat
Pengelompokan ( assosiatif / asosiasi )
Untuk
setiap a, b dan c bilangan real kita mengetahui bahwa ( a + b ) + c = a + ( b+c
) dan a x (b x c) = (a x b) x c. Tetapi (a – b) – c
a
– (b – c) dan (a : b) : c
a
: (b : c). Dikatakan sifat pengelompokan
operasi + dan x berlaku (dipenuhi) dalam himpunan bilangan real dan sifat
pengelompokan operasi pengurangan ( - ) dan bagi ( : ) tidak berlaku.
4. Sifat
Penyebaran ( Distributif / distribusi )
Untuk
setiap bilangan asli a, b, dan c kita
mengetahui bahwa a x ( b + c ) = (a x b) + (a x c) dan a x (b – c). Dikatakan
bahwa sifat distribusi berlaku pada operasi x terhadap + atau – .
5. Sifat
Penghilangan Hukum Kancel
Untuk a,b dan c
bilangan real :
I.
Jika a x c = b dan c = 0 maka a = b
II.
Jika a x b = 0 maka a = 0 atau b = 0
III.
Jika a + c = b + c , maka a = b
Dikatakan sifat penghilangan berlaku pada
operasi kali dan tambah dalam himpunan
bilangan real.
D.
Elemen
satuan
Elemen
atau unsur satuan disebut pula unsur identitas
atau elemen netral yaitu sebuah unsur
bilangan z, bila dioperasikan dengan bilangan lain a akan berlaku : A “operasi”
z = a.
Kita
mengetahui bahwa untuk suatu bilangan real a, berlaku a + 0 = 0 + a = a,
dikatakan bahwa bilangan 0 adalah unsur satuan operasi + . dan a x 1 = 1 x a =
a, bilagan 1 adalah unsur satuan operasi x.
Elemen
satuan operasi tambah disebut nol dan elemen satuan kali disebut unit. Nol pada
operasi tambah biasa adalah 0. Unit pada operasi kali biasa ( x ) adalah 1.
E.
Unsur
invers ( inversi )
Unsur
invers adalah sebuah unsur bilangan e bila dioperasikan dengan lain a berlaku:a
“operasi” a “ e = unsur satuan”
Diketahui
bahwa suatu bilangan real b berlaku b + (-b) = (-b) + b = 0 dan b x 1/b = 1/b x
b = 1 untuk
Dikatakan
bahwa –b adalah invers + dari b dan sebaliknya dan begitupun dengan 1/batau b-1
adalah invers kali dari b dan sebaliknya, ini berlaku untuk operasi tambah dan
kali biasa.
Bilangan
nol tidak mempunyai invers kali sebab tidak ada bilangan yang menghasilkan satu
jika dikalikan dengan nol, namun no mempunyai invers tambah yaitu nol itu
sendiri.
F.
Urutan
pengerjaan hitung
Perjanjian
dalam matematika lama bahwa urutan pengerjaan hitung haruslah berurutan
(operasi kali, operasi bagi, operasi tambah, dan terakhir operasi kurang.
Adapun pendapat pada matematika lama bahwa operasi kali lebih kuat dari operasi
hitung lainnya, operasi bagi lebih kuat dibanding operasi tambah dan operasi
tambah lebih kuat dari operasi kurang.
Namun
alasan bahwa urutan pengerjaan hitung tersebut kurang kuat dikarenakan hasilnya
akan bermacam-macam, sedangkan hasil suatu operasi adalah tunggal. Dan yang
terpenting bukanlah aturan yang macam-macam, tetapi haruslah ada kejelasan dari
pembuat soal (penanya/guru). Bila perlu pakailah tanda kurung agar yang
mengerjakan soal mengetahui mana yang harus dikerjakan terlebih dahulu, dan
mana yang harus dikerjakan kemudian.
G.
Operasi
hitung yang di definisikan ( khusus )
Kita akan mempelajari
operasi hitung selain dari keempat macam operasi hitung (operasi kali, bagi,
tambah dan kurang).Contohnya : Andaikan kita dakan lambang operasi baru yaitu
“*” yang berarti kalikanlah bilangan pertama dengan kedua, kemudian tambahkan
hailnya dengan bilangan kedua, maka nilai dari 4*3 = 2.4 + 3 = 11 dan 3*4 = 2.3
+ 4 = 10.
Label: Matematika
0 Komentar:
Posting Komentar
Berlangganan Posting Komentar [Atom]
<< Beranda