By Aria Turns ¶ Posted in himpunan ¶ Tagged ekuvalen, himpunan, matematika, Math, partisi, relasi ¶ 10 Comments

Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

Definisi 1: Suatu relasi (biner) pada himpunan $S$ adalah himpunan bagian $R$ dari produk cartesian $S\times S$ . Jika $R$ adalah suatu relasi dan $\left(x,y\right)\in R$ maka dikatakan $x$ berelasi ke $y$ pada $R$ atau singkatnya $xRy$

Contoh 2: boleh dibilang relasi yang paling dikenal adalah relasi “=” (Sama dengan) yang memut semua elemen $\left(x,x\right)\in S\times S$

Contoh 3: Diberikan $S=\left\{ 1,2,3\right\}$ dan $R=<$ (kurang dari). Tuliskan semua elemen $R$ .

Diperoleh

$R=\left\{ \left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(2,3\right)\right\}$

Karena memuat semua elemen $\left(x,y\right)$ dengan $x<y$

Nah..selanjutnya kita bahas relasi ekuivalen

Definisi 4: Suatu relasi $R$ pada himpunan $S$ dikatakan relasi ekuivalen jika memenuhi ketiga hal berikut

untuk semua $x,y,z\in S$

1. Reflexive $xRx$

2. Symmetry jika $xRy$ maka $yRx$

3. Transitive Jika $xRy$ dan $yRz$ maka $xRz$

Contoh 5: Diberikan himpunan $S=\left\{ 1,2,3\ldots,20\right\}$ dan relasi $R$ pada $S$ didefinisikan $4|\left(x-y\right)$ . Akan ditunjukan $R$ merupakan relasi ekuivalensi

(note: $a|b$ artinya $a$ membagi $b$ )

1. Reflexive. Untuk sebarang $x\in S$ diperoleh $x-x=0$ , Jelas $s|0$ , terbukti $R$ bersifat Reflexive

2. Symmetry. Diketahui $xRy$ maka $4|\left(x-y\right)$ , yang artinya $x-y=4n$ . Diperoleh $y-x=-4n$ maka $4|\left(y-x=-4n\right)$ . Dapat disimpulkan $yRx$

3. Transitive. Diketaui $xRy$ dan $yRz$ yang artinya

$x-y=4n$ dan $y-z=4m$

Diperoleh

$x-\left(z+4m\right)=4n$

$x-z=4n+4m= 4\left(n+m\right)$ .

Itu artinya $xRz$ . Terbukti $R$ Transitive.

Terbukti $R$ merupakan relasi ekuivale

Nah yang namanya relasi ekuivalen pastilah terdapat kelas ekuivalensi, ibarat 2 sisi mata uang yang tak terpisahkan. Apa itu kelas ekuivalensi?

Definisi: Diberikan $R$ relasi ekuivalen pada $S$ maka untuk semua $a\in S$ dterdapat suatu himpunan yang berisikan semua anngota $S$ yang berelasi ke $a$ , dinotasikan:

$\left[a\right]=\left\{ x\in S|aRx\right\}$

Nah..himpunan inilah yang disebut kelas ekuivalensi

Contoh 6: Sekarang kita akan mencari kelas ekuivalensi dari contoh 5, kita akan memulai dari 1dan maju kedepan

$\left[1\right]=\left\{ 1,5,9,13,17\right\}$

$\left[2\right]=\left\{ 2,6,10,14,18\right\}$

$\left[3\right]=\left\{ 3,7,11,15,19\right\}$

$\left[4\right]=\left\{ 4,8,12,16,20\right\}$

Perhatikan bahwa kelas ekuivalensi lainnya akan sama dengan salah-satu kelas ekuivalensi diatas contohnya $\left[1\right]=\left[5\right]$ . Itu artinya kita telah menemukan kelas-kelas ekuivalensi yang berbeda dari contoh 5.

Perhatikan juga bahwa himpunan $S=\left\{ 1,2,3\ldots,20\right\}$ terpecah menjadi 4 himpunan yang saling asing. Dengan kata lain kelas-kelas ekuivalensi membentuk partisi pada $S$

Teorema 7: Diberikan $R$ relasi ekuivalen pada himpunan tak-kosong $S$ maka kelas-kelas dari $R$ akan mempartisi $S$

Nah..yang saya maksud dengan partisi adalah memecah/ membagi suatu himpunan $S$ menjadi beberapa himpunan bagian tak-kosong yang mana setiap elemen $S$ tepat termuat di satu himpunan bagian. Himpunan bagian ini disibut sel dari partisi. Serupa dengan partisi hardisk, tentunya mustahil suatu file termuat di dua partisi hardisk yang berbeda.

Jadi relasi ekuivalen adalah cara kita mempartisi suatu Himpunan. Menjadi “ekuivalen” itu berarti menjadi sama, serupa berdasarkan kriteria tertentu.

sumber : http://ariaturns.wordpress.com/2010/05/30/relasi-ekuivalen-kelas-ekuivalensi-dan-partisi/

Label: Matematika

Ulin Na'mah

Jumat, 22 Maret 2013

Relasi Ekuivalen

By Aria Turns ¶ Posted in himpunan ¶ Tagged ekuvalen, himpunan, matematika, Math, partisi, relasi ¶ 10 Comments

Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

0 Komentar:

Mengenai Saya

Postingan Sebelumnya